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江苏省泰州市2021届第一学期期中调研测试

高三数学试题

2020．11

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．设集合M＝，集合N＝．则MN＝

A．(0，1) B．(﹣2，2) C．(0，2) D．(﹣2，1)

【答案】A

【考点】集合的交集运算

【解析】由题意M＝＝，则MN＝(0，1) ，故答案选A.

2．已知a，bR，i为虚数单位，则“ab＝0”是“a＋为纯虚数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【考点】复数的运算、逻辑用语

【解析】由题意a＋＝a－bi为纯虚数，则a=0，b≠0；而ab＝0表示a=0或b=0，所以“ab＝0”是“a＋为纯虚数”的必要不充分条件，故答案选B.

3．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，＝

A．1 B．0 C．－1 D．1＋i

【答案】C

【考点】文化题：复数与三角函数的运算

【解析】由题意可知＝，故答案选C.

4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为

A．128.4米 B．132.4米 C．136.4米 D．110.4米

【答案】C

【考点】文化题：空间几何体的结构特征及简单运算

【解析】由题意可设胡夫金字塔原来的高度为h，则有，解得h=（米），则胡夫金字塔现在的高度大约为146.4－10=136.4，故答案选C.

5．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【考点】平面向量的基本定理

【解析】由题意可设，则在平行四边形ABCD中，因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且CF=2DF，

所以，

又因为，且，

所以，

所以，解得，所以，故答案选B.

6．函数的图像大致为

A. B.

C. D.

【答案】A

【考点】函数的图象与性质

【解析】由题意可知，，即函数为奇函数，函数图象关于原点对称，所以排除BD选项；因为当时，sinx>0，

所以sinx+x>0，当时，，所以sinx+x>0，又时，

，则，所以只有A选项符合，排除C选项，故答案选A.

7．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范， 亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表。经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n(n)小时才可以驾车，则n的值为（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

驾驶行为类别

阈值（mg/100mL）

饮酒驾车

[20，80)

醉酒驾车

[80，)

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【考点】文化题：指数不等式的求解

【解析】由题意可知当酒精阈值低于20mg/100mL时，才可以开车，则可结合分段函数建立不等式，即，两边取自然对数可得，即，则，取整数可得为6h，故答案选B.

8．若实数a，b，c满足，其中k(1，2)，则下列结论正确的是

A． B． C． D．

【答案】D

【考点】指对数运算、比较大小

【解析】由题意可知a(0，1)，b(2，4)，c(3，9)，且，对于A选项，，可得到，故选项A错误；对于B选项，，，所以，故B选项错误；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，，，而c>b，所以，故D选项正确；所以答案选D.

二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．已知向量＝(－3，2)，＝(－1，0)，则下列选项正确的有

A．(＋)?＝4 B．(﹣3)⊥

C． D．

【答案】ABD

【考点】平面向量的坐标运算

【解析】由题意，对于选项A，+＝(－4，2)，所以(＋)?＝－4×(－1)+0=4，故A选项正确；对于选项B，﹣3＝(0，2)，所以(－3)?＝0，

所以(－3)⊥，故B选项正确；对于选项C，+＝(－2，2)，，，所以，故C选项错误；对于选项D，，，即，故D选项正确；所以答案选ABD.

10．已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的有

A．abc＜0 B．在区间[0，3]的最大值为0

C．只有一个零点 D．的极大值是正数

【答案】BC

【考点】函数的极值、最值与导数的应用

【解析】由题意可知，且，，所以，则联立化简为，解得，，因为，所以，所以abc>0，所以A选项错误；由，可知为开口向下的二次函数，且零点为1，2，则当时，

，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以x=1为极小值点，x=2为极大值点，则的极大值为，则选项D错误；由函数的单调性可知，函数在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，而且，，所以在区间[0，3]的最大值为0，故选项B正确；函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以只有一个零点0，故选项C正确；所以答案选BC.

11．某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式，则下列说法正确的有

A．在[0，2]上的平均变化率为m/h

B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h

C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低

D．18时潮水起落的速度为m/h

【答案】BD

【考点】导数的概念及几何意义、求导法则

【解析】由题意，对于选项A，，，

所以在[0，2]上的平均变化率为m/h，故A选项错误；对于选项B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为一个周期，而h，故B选项正确；对于选项C，当t＝6时，，

所以潮水的高度会达到一天中最低为错误说法，即C选项错误；对于选项D，，所以，

则选项D正确；综上，答案选BD.

12．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且AP⊥D1Q，则下列说法正确的有

A．DP与D1Q所成角的最大值为 B．四面体ABPQ的体积不变

C．△AA1Q的面积有最小值 D．平面D1PQ截正方体所得截面面积不变

【答案】BCD

【考点】立体几何中的空间角、几何体的体积、侧面积、截面面积的求解等

【解析】由题意以A1为坐标原点，A1B1、A1A、A1D1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A1(0，0，0)，D(0，2，2)，D1(0，2，0)，A(0，0，2)，B(2，0，2)，C(2，2，2)，则P(2，1，2)，设Q(x0，y0，0)，则=(2，1，0)，=(x0，y0－2，0)，由⊥，可得，即2x0+y0－2=0，对于选项A，由=(2，－1，0)，可得，

，为定值，所以选项A错误；对于选项B，四面体ABPQ的体积，

为定值，即体积不变 ，所以选项B正确；对于选项C，因为AA1⊥A1Q，且A1Q=

，所以

，因为，所以，所以选项C正确；对于选项D，因为点Q满足2x0+y0－2=0，即点Q在直线2x0+y0－2=0上运动，取A1B1的中点为E，即点Q在D1E上，则平面D1PQ截正方体所得截面为2△D1PE，因为点P到D1E的距离为2，E(1，0，0)，=(1，－2，0)，，则截面面积为2△D1PE=，为定值，所以选项D正确，所以答案选BCD.

三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．已知，则cos2的值为 ．

【答案】

【考点】三角恒等变换公式的应用

【解析】由题意可知，，解得，则，故答案为.

14．乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为4cm．某厂家计划生产乒乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装6个乒乓球，现有两种方案，方案甲：6个乒乓球放一排；方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，乒乓球与盒子、以及乒乓球之间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多 cm2．

【答案】64

【考点】立体几何中的表面积

【解析】由题意，方案甲：6个乒乓球放一排，每个球的直径为4cm，长方体包装盒的长为：6×4=24（cm），宽为4cm，高为4cm，所以方案甲中包装盒的表面积为：2×(24×4+24×4+4×4)=416cm2；方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，每个球的直径为4cm，长方体包装盒的长为：4×3=12（cm），宽为4×2=8cm，高为4cm，所以方案乙中包装盒的表面积为：2×(12×8+12×4+8×4)=352cm2；所以方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多 416－352=64cm2

15．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为 ．

【答案】

【考点】基本不等式的应用

【解析】由题意因为x＋y＝1，所以=，

，当且仅当时取等号，所以答案为.

16．已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC＝1，AC＝，侧棱AA1＝2，则该三棱柱外接球的体积为 ．

【答案】

【考点】三棱柱外接球问题

【解析】由题意可知，在△ABC中，因为AB＝BC＝1，AC＝，由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，所以△ABC的外接圆半径为r=1，可设直三棱柱外接球的半径为R，则，化简得，解得，所以直三棱柱外接球的体积为，故答案为.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

设集合A＝，B＝．

（1）当m＝2时，求AB；

（2）若AB＝B，求实数m的取值范围．

【考点】集合的运算：交集、并集、子集；分式不等式的解法、含参的一元二次不等式的解法

【解析】

解： ………………2分

（1）当时， ………………4分

所以AB= ………………6分

（2）因为，所以，有：

，解得：，

所以实数的取值范围为. ………………10分

18．（本小题满分12分）

已知向量＝(cosx，－1)，＝(sinx，cos2x)，函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求函数在区间[，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．

【考点】三角函数的图象与性质；向量的数量积坐标公式运算

【解析】

解:(1)

………………4分

由，

解得：，

所以函数的单调递增区间为：. ………6分

（2）因为，所以， ………………8分

所以，即， ………………10分

当时，有最大值为0;

当时, 有最小值为. ………………12分

19．（本小题满分12分）

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A为锐角，在以下三个条件中任选 一个：①(b﹣3c)cosA＋acosB＝0；②sin2＋cos2A＝；③；并解答以下问题：

（1）若选 （填序号），求cosA的值；

（2）在（1）的条件下，若a＝2，求△ABC面积S的最大值．

【考点】开放性试题：解三角形、三角恒等变换

【解析】

解：（1）若选①，因为，由正弦定理有：

,

即，

所以，在中，，所以. ………6分

若选 = 2 \* GB3 ②, ，

，

中，,，

，,

，或（舍）, . ………………6分

若选 = 3 \* GB3 ③，因为，由正弦定理有：

，因为在中，，所以，

又，为锐角，解得. ………………6分

（2）由（1）可知， ，由，为锐角，得，

由余弦定理可知，

，

，当且仅当时等号成立. ………………9分

面积：.

所以面积的最大值为. ………………12分

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD＝2，AB＝3，AD＝，∠DAB＝90°，△BCD为正三角形，E是CD的中点，DE＝PE，PD⊥BC．

（1）求证：平面PDE⊥平面PBC；

（2）求二面角P-BC-D的余弦值；

（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

【考点】立体几何的证明：面面垂直；用空间向量求空间角；空间几何体的体积求解

【解析】

解：（1）因为为正三角形，E是CB的中点，

所以DE⊥BC，

因为PD⊥BC，PD∩DE=D，PD平面PDE，DE平面PDE，

所以BC⊥平面PDE，

因为BC平面PBC

所以平面PDE⊥平面PBC． ………………4分

（2）由（1）中平面，则，

又，所以是二面角的平面角，

因为，，所以，，

因为，，

所以，

即二面角的余弦值为． ………………8分

（3）在中，过作于，

由（1）中得平面，又因为平面，

所以平面平面，

又平面，

故平面， ………………………………10分

由为正三角形，得的面积，

的面积，四边形的面积为

在中，

所以四棱锥的体积．……12分

21．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）解不等式：；

（2）当x[﹣1，]时，求函数的值域；

（3）若(0，)，[﹣1，0]，使得成立，求实数 a的取值范围．

【考点】指数不等式的解法；求函数值域；不等式的恒成立问题

【解析】

解：（1）由得，

即，

所以，又

所以，即不等式的解集为； ………………3分

（2），

= 1 \* GB3 ①当时，；

= 2 \* GB3 ②当时，，

令，则，，

即在上为减函数，故；

综上得：当时，函数的值域为；………………7分

（3）由题意得，，，

当，由（2）得，所以，

所以恒成立，

即恒成立， …………………………………………………10分

又，当且仅当时取等号，

所以实数的取值范围为． ………………………………12分

22．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）求函数的最小值；

（2）若是的切线，求实数k的值；

（3）若与的图象有两个不同交点A(，)，B(，)，求证：．

【考点】利用导数求函数的最值；导数的几何意义与函数的切线方程；利用构造新函数解决极值点偏移问题

【解析】

解：（1）∵，∴，

当时，，∴在上单调递减；

当时，，∴在上单调递增．

故函数的最小值为．………………3分

（2）若是的切线，设切点为，

则过点的切线方程为，

即，即，

由题意知， ………………5分

令，则时，，

∴在上单调递增，又，

∴有唯一的实根，则．……………7分

（3）由题意知，

两式相加得，

两式相减得，即，

∴，即，

不妨令，记，则，

令，则，

∴在上单调递增，则，

∴，因而，

令，则时，，∴在上单调递增，

∵，∴． ………………12分

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