第四讲 统计与统计案例

4.统计案例

(二)独立假设检验：是对两个分类变量是否存在相关关系的一种案例分析方法。

二维条形图与三维柱形图只能粗略判断分类变量间有无相关关系， 而由k2的值来判 断相对精确些。

独立性检验分析问题的基本步骤为：

找相关数据，作列联表：

画三维柱形图

2

求 k2 n(ad bc) 的值；

(a +b)(c + d)(a +c)(b +d)

判断可能性：参考数据如下：

若k 10.828，则有99.9%的把握认为X与Y有关系；

若k 7.879，则有99.5%的把握认为 X与Y有关系；

若k 6.635，则有99%的把握认为X与Y有关系；

若k 5.042，则有97.5%的把握认为X与Y有关系；

若k ■ 3.841，则有95%的把握认为X与Y有关系；

若k 2.706，则有90%的把握认为X与Y有关系；

若k < 2.706，就没有充分的证据显示 X与Y有关系；这时就认为 X与Y无关系。

总之只要若k 2.706，我们就认为 X与Y有关系；

典型题例：

甲乙两个学校高三年级分别为 1100人，1000人，为了统计两个学校在地区二模考试的

数学科目成绩，采用分层抽样抽取了 105名学生的成绩，并作出了部分频率分布表如下：(规

定考试成绩在［120 , 150］内为优秀)

甲校:

分组

70,80)

80,90 )

9。,100)

(00,110)

110,120)

120,130

130,140)

[140,150

频数

2

3

10

15

15

x

3

1

乙校:

分组

70,80)

80,90)

90,100)

(00,110；

110,120 )

120,130 )

130,140)

[140,150

频数

1

2

9

8

10

10

y

3

(1)计算x, y的值，并分别估计两上学校数学成绩的优秀率;

(2)由以上统计数据填写下面 2X 2列联表，并判断是否有 97.5%的把握认为两个学校

的数学成绩有差异.

甲校

乙校

总计

附:优秀非优秀总计22 n(ad -be)k(a +b)(c + d)(a+c)(b +d)P(k

附:

优秀

非优秀

总计

2

2 n(ad -be)

k

(a +b)(c + d)(a+c)(b +d)

P(k2 *)

0. 10

0. 025

0. 010

k°

2. 706

5. 024

6. 635

解：（1）依题甲校抽取55人，乙校抽取50分,

故 x=6, y=7

10 20

估计甲校优秀率为 一 :18.2%，乙校优秀率为 一 =40%

55 50

(2)

甲校

乙校

总计

优秀

10

20

30

非优秀

45

30

75

总计

55

50

105

k2

」05 (10 30 一2° Q =6.109 又因为 6.10 5.024

55 50 30 75

故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异 ?

某中学研究性学习小组，为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高

三年级随机调查了 50名学生.调査结果表明：在爱看课外书的 25人中有18人作文水平好,

另7人作文水平一般；在不爱看课外书的 25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般

（1）试根据以上数据建立一个 2X2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为

中学生的作文水平与爱看课外书有关系？

（2）将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为 1，2，3，4，5,某5名爱看

课外书且作文水平一般的学生也分别编号为 1, 2, 3, 4，5，从这两组学生中各任选 1人进

行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为 3的倍数或4的倍数的概率.

附： 炉 = 十刃（加一氐”

附 1 ■■ I . :; ：| 1 ■'

临界值表：

P（捽鼻島）

0. 10

0. 05

0. 025

0.010

0. 005

0. 001

ko

2. 706

3. 841

5. 024

6. 635

7. 879

10. 828

IB. (1)2X2

杵文水平一般

金右滦外书

18

M

7

—

oe

1不爱应课外书

5

-

25

敢计

24

Z6

50 |

(3 井)

鸣肖 圧h如〔戈軒"￡佥空■ 1 誇竝］1 ‘ 53B>10,膨&由^.P(K2^10.328)^ 001.

TOC \o "1-5" \h \z 故有卿」％悅把槿认沟中学生町禅文奉屮与症壶瀑外书有关黑. <6^)

选11的明禺哮生西堪号之和为3的倨IT为丰伴誠遶取的樹龙常生的皓号之加为4的馆4C 因处爭件旳所色舎的居本事4AI(lt2)><li5)t(Ztl)1(2T4),(3(3)X4,Z)X4.5)，

⑸1)2⑷?并94"事井胳魏为￡"=25用以尸⑷工层 (3^)

￡

所常P(fl) =—. * 〔10分)

毋曲爭怦儿2斤、所也叫LWW +円砂 备嗨

故藏逸At的間窑哮生妁蠣号之和为m的借息戎4的信数的概皐是壬 (12

19. ^1(1)由条件.昜加 /(l)=/(-D=Q.

? f3a-h4b_3=0t

莉 / (^E)m 3flJT 4 ttfj, _3* Alj ( a? I (4

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jr-只些》u尹€耳”工一丸)■呷y=3(^i — 1》h_H” 十” wt+””“?…”+?””"i($分)

鶴％切鳗过盍At 1M片刘r=3U-l)-23i.

因为遠点冲(1昇)可柞苗蜒了-担乂)药三需■切致.

Hl关于j?的方稗2j^ — Sfx1— 1)卡r=D有三个不同的实幣、 (7分)

设 旅工)=吁 一3 4十4■乳別耳(工｝=6” —St.

卒￡飞工)?0,埒X—0 A, jete 1.

d x€ (―?>0)时活'(主)>5则 0)上是JtA4t?

当工€ 10J)时,0Q)V(L对/￡虚〔0,"上是黑團數匸

粤i€(1.4-?)时、”(刃>山则gG)jUl?+x)上是增轟旣.

于是工=0是圉蟲弹￡的城大值点，尸1是圉耻 來工〉的挝小值血” (104)

奇香翟gf工)有王个不岡钧实浪U貞0)>。且g( 1X0,

lt+3>0,

即 解埒一BVK-签

I畫一 3+片3<0?

址r的取值就赳是(一乳一隙* (13分)

竇槌-英才丸联考文科墓学枣考答案(附中版)一 2

在综合素质评价的某个维度的测评中 ，依据评分细则，学生之间相互打分 ，最终将所有的

数据合成一个分数.满分100分,按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格?为了解学生

在该维度的测评结果，从毕业班中随机抽出一个班的数据 ?该班共有60名学生，得到如下

的列联表?

优秀

合格

总计

男生

6

女生

18

合计

60

已知在该班随机抽取 1人测评结果为优秀的概率为 [.

请完成上面的列联表；

)能否在犯错误的概率不超过 0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？

现在如果想了解全校学生该维度的表现情况 ，采取简单随机抽样的方式在全校学生中

抽取少数一部分人来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由?

当a 6（ytl）时/>）的草调递滅区间是（-%￡ 2 ）和（?8 Q /（x）的单调递增

（2）同文 18（2）

（文）解：⑴

12分

优秀

合格

总计

男生

6 .'

22

28

女生

14

18

32

合计

20

40

60

厂?4分

（2）提出统计假设；性别与测评结果没有关系.則

60x(6x18-22x14)，

S 40x20x32x28

*3. 348 >2. 706.

P(K2> 2. 706) =0.10.

Pi此在犯错谋的概聿不超过o?io的前提下认为性别对测评结果有关系”。

9分

<

可能对是舌恍劈有《J响?所以采用力层籀样按男妄空比側？SIR-

定的学生?这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符合实际情况.

12分

20 ?解：（理）（1）提出统计叙设:性别与测评结果没有关系■则

60x(6x18-22x14)：

40x20x32x28 *

3? 348 >2. 706,

P（AT2 >2.706） =0. 10.

因此?在犯错溟的概率不超过0.10的舸提F认为■性别与测评结果有关系二

?< 4 分

（2）由（》）可知性别很有可能对是否优秀有影响■所以采用分层抽样按男女生比例抽取一

定的学生?这样得到的结果对学生在该维度的总体表现悄况会比较符合实际情况.

练习十一

1为了了解大学生在购买饮料时看营养说明是否与性别有关，对某班 50人进行问卷调查得

到2 X 2列联表。

看说明

不看说明

合计

女生

5

男生

10

合计

50

3

已知在全部50人中随机抽取1人看营养说明的学生的概率为 5 .

(I)请将上面2X 2列联表补充完整；

(H)是否有99. 5%的把握认为“看营养说明与性别有关” ？说明你的理由.

(川)从看营养说明的10位男生中抽出7名进行调查，其中看生产日期的有 A、A、A, 看生产厂家的有 B、看保质期的有Ci、C2,现从看生产日期、看生产厂家、看 保质期的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求 Bi和Ci不全被选中的概率.

下面临界值供参考

P CKJ 2 k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

&001

k

2,01

2706

3.841

5,024

6.635

7.579

参考公式n(ad -be)2

参考公式

(￡7+ b)(c +c)(b + J)

2.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助， 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500

位老人，结果如下：

—— it

A

_ h宅

40

Xi

160

270

(I)估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；

(n)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(川)根据(n)的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者 提供帮助的老年人的比例？说明理由。

附：

#弋皐 WAj 0.050 0 010 ? 001

_ _ 虹〉

(4 -I A) (c 4

3.为了比较注射 A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200只家兔做实验，将这 200

只家兔随即地分成两组。每组 100只，其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B。下表1和

表2分别是注射药物 A和药物B后的实验结果。(疱疹面积单位： mm2)

帝症面視

[60.65)

[65.70)

J70t75)

门茂紳)」

频《E

K

40

20

IQ

衰岔 注贮曲粉B后皮跌痢疥面別旳顧数分先表

庖務面枳

(?J,65) [63,70>

［池旳

[75.S0)

(80, K5}

10 25

20

30

15

(I)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

k t注斛卩椚占

k t注斛卩椚占百皮殴堆培力秧門独■孙聖抚方阳

：U! i￡旺件和HE.1SH的律血眾的弊丰舒吒舟办$

(H)完成下面2 2列联表，并回答能否有 99.9 %的把握认为“注射药物

(H)完成下面2 2列联表，并回答能否有 99.9 %的把握认为“注射药物

面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。

世 3：

A后的疱疹

- i 1

胞也血积小1' lOnun'

抱毎厠祝朋小于70口討

斗

—

注财翦密A

! ■■? ° 、

a 二

” 一 「

■ 」■ —

—J

1

沖时匆物U

d =

P ]

L -J

2

n(ad -be) 附：k

(a +b)(c + d)(b+c)

尸(鹉孑切[0 100 0.05Q 0.015 0.0to。理 ~ k j 27Q6y024^*/35 I0.52?

1.设女生看营养说明的人数为参考答案x，男生不看营养说明的人数为 y，则有:

1.设女生看营养说明的人数为

参考答案

x，男生不看营养说明的人数为 y，则有:

故有:

10+x 3

50 ~ " 5 =>

x + 15+jr = SO

x = 20

y = 15

看说明

不看说明

女生

20

5

25

男生

10

15

25

合计

30

20

S0

（II）;陷=竺空竺上型空玉朋刘汀舶9

30x20x25x25

仁有99.5%的把握认为看营养说明与性别有关.

<111）从看生产日期、看生产厂家*看保质期的男生中备选出】名, 其结果组成的所有基本事件如下：

（令阳C）（4，%Gh （A览,C）3鸟G），

(A2?BttCi) t (舄,吗,G),(堆,场,CJ,(堆*场,C)

a/Gh（右片G），4禺Ch（厶略G）,共血种?

记耐表示“农和G不全被选中”这一事件，则其对立事件乔表乐“耳和G全披选

中”，

满足条件乔的基本壽件有（4.^,Q）共3种

TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" 1

所以尸(M2巨=玄

由对立事件的概率公式得

12分— 1 3

12分

尸(M) = l「卩(M) = l ——=~

<20) ( I ) Ve4

<20) ( I ) Ve

—* **- <2 — — *

2

\o "Current Document" y2 V2 I

设椭圆的方程为一召=1，直线AB的方程= —X+1，

4c 3c *

* ] H —

4? +V ** 得* x2-x + 1-3?=0.

V s: x+ 1

2

2. ( 1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助 的老年人的比例的估计值为 卫 14%.

500

⑵ k2 = 500 (4。270 -30 16°)2 ,9.967

200x300x70x430

由于9.967 6.635所以有99%勺把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 .

(3)由于(2)的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据

能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异 ，因此在调查时，先确

定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男，女两层并采用分层抽样方法比采用简单 反随即抽样方法更好.

so W疱空肓報<10)

so W疱空肓報

0.08 - ,J" '

G.Qjk ■

0,W-i

0.051

W

0.G2

su注时葫物丸岳虑觥普而飙的繰辜今祐直甘圖禺n汪辭驰期r坯屋哉痔薜血祝的剧瞿芳範且方樹

TOC \o "1-5" \h \z 可以着出注财药物A后的疱疹面积的中谊数左於至沏之阿.而注射药您B后的

推鑒團积的申位数在70^75 Z画所團注駅药物扎治抱薫面积的中植数小于注射姿物

U后疱疹面积的中位數. ……5舟

(11)^3：

痢疹面稅小于TOfflm2

型萝面积卒小于7Onwn"

合计

注封药物虔

^ = 70

fr*=3O

LOO

注輛药物B

<r?35

. “r

J=r65

.

100

合计'

95

料= 200

TOC \o "1-5" \h \z ^200x(70x65 - 35x30/

- 100x100x105x95 ?L

由于/ a讹名X，所以有99.9%豹把按认为耀注射勞物岛后的痢廉面积与注时药物B

后的規廃面枳有差异”- ……M分

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