椭 圆

一、直线与椭圆问题的常规解题方法 :

1.设直线与方程； （提醒 ：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为 y=kx+b 与 x=my+n

的区别）

2.设交点坐标； （提醒 :之所以要设是因为不去求出它 ,即“设而不求 ”）

3.联立方程组；

4.消元韦达定理； （提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 ）

5.根据条件重转化； 常有以下类型：

①“以弦 AB 为直径的圆过点 0”（ 提醒： 需讨论 K 是否存在）

OA OB

uuur uuur

K1 ? K 2

1OA ? OB 0

x1 x 2 y1 y2 0

②“点在圆内、圆上、圆外问题”

“直角、锐角、钝角问题”

“向量的数量积大于、等于、小于

0 问题”

x1 x 2 y1 y2 0 >0；

③“等角、角平分、角互补问题”

斜率关系（ K1 K 2

0 或 K1

K 2 ）；

④“共线问题”

uuur

uuur

（如： AQ

QB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）

；

（如 ：A、 O、B 三点共线

直线 OA 与 OB 斜率相等）；

⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；

⑥“弦长、 面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题 （提醒 ：注意两个面积公式 的

合理选择）；

6.化简与计算；

7.细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现 0.

二、基本解题思想：

1、“常规求值”问题： 需要找等式， “求范围”问题需要找不等式；

2、“是否存在”问题： 当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法： ⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无

关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法： ⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求

出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，

5、求最值问题时： 将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值） 、三角代换法（转化为三角函数的最值） 、利用切线的方法、利用均值不

等

式的方法等再解决；

6、转化思想： 有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

椭圆中的定值、定点问题

一、常见基本题型：

在几何问题 中，有些几何量和参数无关， 这就构成定值问题， 解决这类问题常通过取参数和特殊值 来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。

（ 1）直线恒过定点问题

1、已知点 P( x0 , y0 ) 是椭圆 E : x2

y2

1 上任意一点， 直线 l 的方程为 x0 x

y0 y 1， 直

2

2

l0 过 P 点与直线 l 垂直， 点 M（ -1，0）关于直线 l0 的对称点为 N，直线 PN 恒过一定点 G，求点 G 的坐标。

1、解：直线 l0 的方程为 x0 ( y

y0 )

2 y0 (x

x0 ) ，即 2 y0x

x0 y

x0 y0 0

设 M (

1,0) 关于直线 l0 的对称点的坐标为

N ( m, n)

n

x0

m

2 x0 3

3x02

4x0

4

m 1

2 y0

x0

2

4

则

，解 得

m 1 x0 n

2 x0 4

4 x03

4x02

8x0

2 y0

0

n

2

x0 y0

2 y0 (4

x0

2 )

2

n

y

0

x

4 4x

3

2x 2

8x

8

直线的斜率为 k

0

0

0

0

2 y0 ( x0 3

3x0 2

4)

m x0

从而直线的方程为：

y y0

x04

4x0

3

2x02

8x0

8

2y0 (

x0

3

3x0

2

4)

( x x0 )

2 y (

x

3

3x 2

4)

即 x

0

0

0

y

1

4

4x

3

2 x 2

8x

x

8

0

0

0

0

从而直线恒过定点

G (1,0)

2、已知 椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为

2 ，是椭圆在第一

象限弧上一点，

2

uuur uuuur

且 PF1 PF2



1，过



P 作关于直线



F1P



对称的两条直线



PA、 PB分别交椭



圆于



A、 B 两点。

（1）求



P 点坐标；（ 2）求证直线



AB 的斜率为定值；

y2 x2

2、解：（1）设椭圆方程为 a2 b2 1，由题意可得

a 2,b 2, c 2 2 ， 所 以 椭 圆 的 方 程 为

y2 x2

1

4 2

则 F

(0,

2), F (0, 2) ，设 P(x0 , y0 )( x0 0, y0

0)

1

2

uuur

uuuur

则 PF1

( x0 , 2 y0 ), PF2

( x0 ,

2 y0 ),

uuur

uuuur

x02 (2 y02 ) 1

PF1 PF2

Q 点 P(x0 , y0 ) 在曲线上，则

x02

y02

1.

x02 4

y02

2

4

2

从而

4

y02

(2

y2 ) 1，得 y0

2 ，则点的坐标为 (1,

2)

。

2

0

（2）由（ 1）知 PF1

// x 轴，直线 PA、 PB 斜率互为相反数，

设 PB 斜率为 k (k

0) ，则 PB的直线方程为：

y

2

k(x

1)

y

2

k( x

1)

2

2

2

2

2

得

由 x

y

1

(2 k )x

2k ( 2 k) x ( 2 k) 4 0

2

4

设 B( xB , yB ), 则 xB

2k( k

2)

k 2

2

2k

2

2

k 2

1

2

k2

同理可得 xA

k2

2

2k

2

，则 xA

xB

4

2k

2

k2

2

k2

yA yB

k( xA

1) k( xB 1)

8k

2

k 2

yA

yB

所以直线 AB 的斜率 kAB

2 为定值。

xA

xB

3 、 已 知 动 直 线 y

k( x 1) 与 椭 圆 C : x2

y 2

1 相 交 于 A B 两 点 , 已 知 点

5

5

3

7

uuur

uuur

M ( ,0) ， 求证： MA

MB 为定值 .

3

3、 解: 将 y

k(x 1) 代入 x2

y 2

1中得 (1

3k2 ) x2

6k2 x 3k 2

5 0

5

5

3

36k 4

4(3k 2

1)(3k 2

5)

48k 2

20

0 ，

x1 x2

6k 2

， x1x2

3k 2

5

3k2

3k

2

1

1

uuur uuur

7 , y1 )( x2

7 , y2 ) ( x1

7)( x2

7) y1 y2

所以 MA MB (x1

3

3

3

3

(x1

7)( x2

7) k 2 ( x1

1)(x2

1)

3

3

(1 k2 ) x1x2

(7

k 2 )( x1

x2 )

49

k 2

3

9

2

3k 2

5

7

2

6k2

49

2

(1 k ) 3k2

1

( 3

k )(

3k 2 1)

9

k

3k4

16k 2

5

49

k

2

4

3k 2

1

9

。

9

4、 在平面直角坐标系中， 已知椭圆 C : x2

y2

1

.如图所示， 斜率为 k(k＞0) 且不

过

3

原点的直线 l 交椭圆于， 两点，线段的中点为，

射线 交椭

圆于点，交直线 x

3于点 D ( 3, m) .（Ⅰ）求 m2

k 2 的最

小值；（Ⅱ）若 OG

2

OD ?，求证：直线 l 过定点；

椭圆中的取值范围问题

一、常见基本题型：

对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的

不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域

来解 .

（ 1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。

5 、已知直线 l 与 y 轴交于点 P(0, m) ，与椭圆 C : 2x2 y2 1 交于相异两点 A 、 B，

uuur uuur

且 AP 3PB ，求 m 的取值范围．

（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式

,确定参数的取值范

围.

6、已知点 M (4, 0) ， N (1, 0)

uuuur

uuur

uuur

， 若动点满足 MN

MP

6| PN | ．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

uuur

uuur

（Ⅱ） 设过点的直线 l 交轨迹于， 两点，若

12 ，求

直线 l

18 ≤ NA

NB ≤

的斜率的取值范围 .

7

5

6、解：（Ⅰ）设动点 P(x,

uuur

(x

uuuur

(

uuur

x, y) .

y) ，则 MP

4, y) ， MN

3, 0) ， PN (1

由已知得

3( x

4)

6

(1

x) 2

(

y) 2

，

2

2

12 ，得

x2

y2

1.

化简得 3x

4 y

4

3

所以点的轨迹是椭圆

，的方程为

x 2

y 2

1.

4

3

（Ⅱ）由题意知，直线

l

的斜率必存在，

不妨设过的直线

l 的方程 为 y

k ( x 1) ，

设，两点的坐标分别为

A( x1,

y1) ， B( x2 , y2 ) .

y

k ( x 1),

由 x2

y 2

消去得 (4 k2

3)x2

8k 2 x 4k2

12

0 .

4

3

1

因为在椭圆内，所以 .

x1 x2

8k2

2 ,

4k

所以

3

4k 2

122 .

x1 x2

3

4k

uuur

uuur

k 2 )( x1

因为 NA NB

( x1 1)(x2 1)

y1 y2

(1

1)(x2 1)

(1 k 2 )[ x1 x2

( x1

x2 ) 1]

(1

k 2 ) 4k 2

12

8k 2

3 4k 2

9(1

k 2 )

，

3

4k 2

3

4k 2

所以

18 ≤

9(1

k 2 ) ≤

12 . 解得 1≤ k 2 ≤ 3 .

7

3 4k 2

5

(3)利用基本不等式求参数的取值范围

7 、已知点

x2

y

2

A 的坐标为

uuur uuur

Q 为椭圆 E ：

1 上的 一动点，点

(3,1) ，求 AP AQ

18

2

的取值范围．

8.已知椭圆的一个顶点为 A(0, 1) ，焦点在 x 轴上 . 若右焦点到直线 x y 2 2 0 的距

离为 3.（ 1）求椭圆的方程 .

（ 2 ）设直线 y kx m( k 0) 与椭圆相交于不同的两点 . 当 | AM | | AN | 时，求 m 的

取值范围 .

9. 如图所示，已知圆 C : ( x 1) 2

y 2

8,定点 A(1,0), M 为圆上一动点， 点在上，

点

在上，且满足 AM 2 AP, NP AM

0,点N 的轨迹为曲线 .

I）求曲线的方程；

II）若过定点 F（0 ，2）的直线交曲线于不同的两

点（点在点之 间），且满足 FG FH ，

求的取值范围 .

解：（ Ⅰ ） AM 2 AP, NP AM 0.

NP 为 AM 的垂直平分线，∴ |NA|=|NM|

又

| CN |

| NM

| 2

2,

| CN |

| AN |

2 2

2.

∴动点 N 的轨迹是以点

C（－ 1，0）， A（ 1， 0）为焦点的椭圆 .

且椭圆长轴长为

2a 2

2, 焦距 2c=2.

a

2, c

1, b 2

1.

∴曲线 E 的方程为 x2

y 2

1.

2

（ Ⅱ ）当直线 GH 斜率存在时，

设直线 GH 方程为 y

kx

2, 代入椭圆方程

x 2

y 2

1,

2

得 ( 1

k 2 ) x 2

4kx

3

0.

由

0得 k2

3.

2

4k , x1 x2

2

3

设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ), 则x1

x2

1

1

k 2

k 2

2

2

又 FG

FH ,

( x1 , y1

2)

( x2 , y2

2)

x1

x2 ,

x1

x2

(1

) x2 , x1 x2

x22 .

( x1x2 )2

x22x1 x2 ，

1

(

4k

) 2

3

1

k 2

1

k 2

16

(1

)

2

2

)2

2

, 整理得

(1

1

3(

1)

2k2

k2

3 , 4

16

16.

4

1

2

16 .解得 1

3.

2

3

3

3

3

3

2k 2

又 0

1,

1

1.

3

1

1 .

又当直线 GH 斜率不存在，方程为

x 0, FG

FH ,

3

3

1,即所求 的取值范围是 [ 1 ,1)

3 3

10、.已知椭圆的中心在坐标原点， 两个焦点分别为 A( 1,0) 、 B(1,0) ，一个顶点为 H (2,0) .

（ 1）求椭圆的标准方程；

（ 2）对于 x 轴上的点 P(t,0) ，椭圆上存在点，使得 MP MH ，求 t 的取值范围 .

11.已知椭圆 C :

x2

y2

1 (a

b 0)

2

，以原点为圆心， 椭圆的短半轴长

a

2

2

的离心率为

b

2

为半径的圆与直线

x

y

2

0 相切．

（ Ⅰ ）求椭圆 C 的方程；

（ Ⅱ ）若过点 M (2 ， 0)的直线与椭圆

C 相交于两点

A, B ，设 P 为椭圆上一点，且满

足 OA OB tOP （ O 为坐标原点），当 PA PB ＜ 2 5

时，求实数 t 取值范围．

3

椭圆中的最值问题

一、常见基本题型：

（1）利用基本不等式求最值，

12、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为

2

，是椭圆在第一

象限弧上一

2

uuur

uuuur

点，且 PF1

PF2 1 ，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线

PA、 PB 分别交

椭圆于 A、 B 两

点，求△ PAB面积的最大值。

（2）利用函数求最值，

13.如图， DP x 轴，点 M 在 DP 的延长线上， 且 | DM | 2 | DP | ．当点 P 在圆 x2 y2 1

上 运动时。 （ I）求点 M 的轨迹 C 的方程；

（Ⅱ）过点 T (0, t)作圆 x 2

y2

1 的切线 l 交曲线

C 于 A， B 两点，求△ AOB 面 积 S

的最大值和相应的点 T 的坐标。

2

14、已知椭圆 G : x y2 1 .过点 (m,0) 作圆 x2 y2 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点 .

4

将| AB| 表示为 m 的函数，并求 |AB| 的最大值 .

选做

1、已知 A、 B、 C 是椭圆 m : x2

y2

1(a b 0) 上的三点，其中点

A 的坐标为

a2

b2

( 2 3,0) ， BC过椭圆 m 的中心，且 AC ? BC

0,| BC | 2 | AC |．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点 M (0, t) 的直线 l （斜率存在时）与椭圆

m 交于两点 P， Q，设 D 为椭圆 m 与 y

轴负半轴的交点，且 | DP | | DQ |.求实数 t 的取值范围．

2.已知圆 M ： ( x m )2 ( y n)2 r 2 及定点 N (1,0) ，点 P 是圆 M 上的动点，点 Q 在 NP

上，点 G 在 MP 上， 且满足＝ 2， ·＝ 0 ．

（1）若 m 1,n 0, r 4 ，求点 G 的轨迹 C 的方程；

（2）若动圆 M 和（ 1）中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ，是否存在一组正实数 m, n,r ，

使得直线 MN 垂直平分线段 AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说 明理由．

3、已知椭圆 C 的中心在坐标原

点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为

3 ，

最小值为 1．

（Ⅰ ）求椭圆 C 的标准方程；

（Ⅱ ）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ A， B 不是左右顶点） ，且以 AB

为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．

4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M

2， 1），平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m（ m≠0），l 交椭圆于 A、B 两个不同点。

1）求椭圆的方程；

2）求 m 的取值范围；

（ 3）求证直线 MA、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形 .

参考答案

1、解：直线 l0 的方程为 x0 ( y

y0 )

2 y0 (x

x0 ) ，即 2 y0x

x0 y

x0 y0 0

设 M (

1,0) 关于直线 l0 的对称点的坐标为

N ( m, n)

n

x0

m

2 x0 3

3x02

4x0

4

m 12 y0

x0

2

4

则

，解 得

m 1

x0 n

2 x0 4

4 x03

4x02

8x0

2 y0

x0 y0

0

n

2

2

2 y0 (4

x0

2 )

直线的斜率为 k

n y0

x04

4x03

2x0 2

8x0

8

m x0

2 y0 ( x0 3

3x0 2

4)

x

4

4x

3

2x

2

8x

8

从而直线的方程为：

y

y0

0

0

0

0

( x

x0 )

2y0 (

x0

3 3x0

2

4)

即 x

2 y0 ( x03

3x02

4)

y

1

4

4x

3

2 x

2

8x

x

8

0

0

0

0

从而直线恒过定点 G (1,0)

2、解：（1）设椭圆方程为

y2

x2

1

，由题意可得

a2

b2

a 2,b

2, c

2 2 ，所以椭圆的方程为

y2

x2

1

4

2

则 F (0, 2), F (0,

2) ，设 P(x0 , y0 )( x0

0, y0

0)

1

2

uuur

uuuur

则 PF1

( x0 , 2 y0 ), PF2

( x0 ,

2 y0 ),

uuur

uuuur

x2

(2

y2 )

1

PF

PF

1

2

0

0

Q 点 P(x0 , y0 ) 在曲线上，则

x02

y02

1.

x02

4

y02

2

4

2

从而

4 y02

(2

y02 )

1，得 y0

2 ，则点的坐标为 (1, 2) 。

2

（2）由（ 1）知 PF1 // x 轴，直线 PA、 PB 斜率互为相反数，

设 PB 斜率为 k (k 0) ，则 PB的直线方程为： y 2 k(x 1)

y

2

k( x

1)

2

2

2

2

2

得

由 x

y

1

(2 k )x

2k ( 2 k) x ( 2 k) 4 0

2

4

设 B( xB , yB ),

则 xB

2k( k

2)

1

k 2

2

2k

2

2

k 2

2

k2

同理可得 xA

k2

2

2k

2

，则 xA

xB

4

2k

2

k2

2

k2

yA

yB

k( xA

1)

k( xB

1)

8k

2

k 2

yA

yB

所以直线 AB 的斜率 kAB

2 为定值。

xA

xB

3、 解 : 将 y k(x

1) 代入 x2

y 2

1中得 (1 3k2 ) x2

6k 2 x 3k 2

5 0

5

5

3

36k 4

4(3k 2

1)(3k 2

5)

48k 2

20

0 ，

x1

x2

6k 2

， x1x2

3k 2

5

2

1

3k

2

1

3k

uuur

uuur

7 , y1 )( x2

7 , y2 )

7)( x2 7) y1 y2

所以 MA MB (x1

( x1

3

3

3

3

(x1

7)( x2

7) k 2 ( x1

1)(x2

1)

3

3

(1 k2 ) x1x2

(7

k 2 )( x1

x2 )

49

k 2

3

9

(1

k

2

)

3k 2

5

(

7

k

2

)(

6k2

49

k

2

3k2

1

3

3k 2

)

1

9

3k4

16k 2

5

49

k 2

4

。

3k 2

1

9

9

4、 解：（Ⅰ）由题意 :设直线 l : y

kx

n( n

0) ,

y

kx

n

由

x

2

2

1

消 y 得 : (1

3k 2 )x2

6knx

3n2

3

0 ,

y

3

36k2 n2 4(1 3k 2 )× 3(n2 1) 12(3 k 2 1 n2 ) 0

A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,AB 的中点 E( x0 , y0 ) ,则由韦达定理得 :

x1 x2 =

6kn

3kn

kx0

n

3kn

k n

n

2 ,

3k

2 ,即 x0

1

3k

2 , y0

1

3k

2

1

3k

1

所以中点 E 的坐标为 (

3kn

,

n

) ,

1

3k2

1

3k 2

因为 O、 E、 D 三点在同一直线上，

所以 kOE

KOD ，即

1

m

， 解得 m

1

，

3k

3

k

1

所以 m2

k2

=

k 2

2 ,当且仅当时取等号

,

即 m2

k2

的最小值为 2.

k 2

（Ⅱ）证明 :由题意知 :n>0,因为直线 OD 的方程为 y

m x ,

3

y

m

x

m2

所以由

3

得交点 G 的纵坐标为 yG

2

m

2

,

x

y2

1

3

3

又因为

yE

n

2

,

y

m

,

且

2

，所以

m2

m

n

2 ,

1

3k

D

OGOD

?

m

2

3

1 3k

又由（Ⅰ）知 :

m

1

,所以解得 ,所以直线 l 的方程为 l : y

kx

k ,

k

即有 l : y

k( x

1) ,

令 x

1 得 ,y=0,与实数 k 无关 ,

5、 解：（ 1）当直线斜率不存在时：

m

1

2

（ 2）当直线斜率存在时：设

l 与椭圆 C 交点为

A( x1 , y1), B( x2 , y2 )

y

kx

m

得 (k 2

2) x2

2kmx

m2

1

0

2x2

y2

1

(2 km)2

4( k 2

2)( m2

1)

4( k 2

2m2

2)

0

（ * ）

x1

x2

k

2km , x1 x2

m2

1

2

2

k 2

2

uuur

uuur

∵ AP

3PB ，∴

x1

3x2 ，

x1

x2

2x2

消去 x2 ，得 3(x1

x2 ) 2

4x1x2

0 ，

∴

3x2

.

x x

1

2

2

3(

k

2km ) 2

4 m2

1

0

2

2

k2

2

整理得 4k 2m2

2m2

k 2

2 0

m2

1

时，上式不成立；

m2

1

时， k 2

2

2m2

，

4

4

4m 2

1

∴

k

2

2 2m 2

0

，∴

1 m

1 或 1

m 1

4m2

1

2 2

把 k

2

2

2m 2

代入（ *）得

1 m

1

1

m 1

4m 2

1

2 或 2

∴

1

m

1

或

1

m

1

2

2

综上 m 的取值范围为

1

m

1 或 1

m 1。

2

2

uuur

( x

uuuur

uuur

(1 x, y) .

6、解：（Ⅰ）设动点 P( x, y) ，则 MP

4, y) ， MN

( 3, 0) ，PN

由已知得

3( x

4)

6

(1

x) 2

(

y) 2

，

化简得 3x2

4 y2

12 ，得 x2

y2

1.

4

3

所以点的轨迹是椭圆

x 2

y 2

1.

，的方程为

3

4

（Ⅱ）由题意知，直线

l 的斜率必存在，

不妨设过的直线

l 的方程 为 y k ( x

1) ，

设，两点的坐标分别为

A( x1, y1) ， B( x2 , y2 ) .

y

k ( x

1),

由 x2

y 2

消去得 (4 k2

3)x2

8k 2 x

4k2

12

0

.

4

3

1

因为在椭圆内，所以 .

x1

x2

8k2

2 ,

3

4k

所以

4k 2

12

x1 x2

3

4k

2 .

uuur

uuur

k 2 )( x1

因为 NA NB

( x1 1)(x2

1)

y1 y2

(1

1)(x2

1)

(1 k 2 )[ x1 x2

( x1

x2 ) 1]

(1

k

2

4k 2

12

8k 2

3

4k 2

9(1

k 2 )

，

)

3

4k 2

3

4k 2

所以

18 ≤

9(1

k 2 )

≤

12 .

解得 1

≤ k 2 ≤ 3 .

7

3

4k 2

5

uuur

uuur

( x 3, y

1) ，

7、 解： AP

(1,3) ，设 Q（ x， y）， AQ

uuur

uuur

3)

3( y

1)

x

3y

6

AP

AQ ( x

．

∵ x2

y2

1 ，即 x2

(3 y) 2

18 ，

18

2

而 x2

(3 y)2 ≥ 2 | x | | 3 y | ，∴－ 18≤ 6xy≤ 18．

则 ( x 3 y) 2

x2

(3 y)2

6 xy

18

6 xy 的取值范围是 [0， 36]．

x

3 y 的取值范围是 [ － 6， 6]．

uuur

uuur

x

3 y

6 的取值范围是 [－ 12，0]．

∴ AP

AQ

8、解：（ 1）依题意可设椭圆方程为

x2

y

2

1 ，则右焦点 F

2

2

a 1,0

a

由题设

| a 2

1 2

2 |

，解得，

2

3

故所求椭圆的方程为

x2

y2

1.

3

2）设 P(xP , yP ) 、 M ( xM , yM ) 、 N ( xN , yN ) ，

y kx m

为弦的中点，由 x2

y2 1

3

得 (3k2 1)x2 6mkx 3(m2 1) 0

直线与椭圆相交，

(6 mk)2

4(3k 2

1)

3( m2

1) 0

m2

3k 2

1, ①

xP

xM

xN

3mk

，从而 yP

kxP

m

m

，

2

2

1

2

3k

3k

1

kAP

yP

1

m

3k2

1 ，又 | AM | | AN |,

AP

MN ,

xP

3mk

则：

m 3k2

1

1 ，即 2m

3k 2

1

，②

3mk

k

把②代入①得 m2

2m

，解 0

m

2

，

由②得 k2 2m 1 0 ，解得 .

3

综上求得 m 的取值范围是

1

m 2 .

2

9、解：（ Ⅰ ） AM 2 AP, NP AM 0.

NP 为 AM 的垂直平分线，∴ |NA|=|NM|

又 | CN |

| NM

| 2

2,

| CN |

| AN |

2 2

2.

∴动点 N 的轨迹是以点

C（－ 1，0）， A（ 1， 0）为焦点的椭圆 .

且椭圆长轴长为

2a

2

2, 焦距 2c=2.

a

2, c

1, b 2

1.

∴曲线 E 的方程为 x2

y 2

1.

2

（ Ⅱ ）当直线 GH 斜率存在时，

设直线 GH 方程为 y

kx

2, 代入椭圆方程

x 2

y 2

1,

2

得 ( 1

k 2 ) x 2

4kx

3

0.

由

0得 k2

3.

2

4k

2

3

设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ), 则x1

x2

, x1 x2

1

k 2

1

k 2

2

2

又 FG

FH ,

( x1 , y1

2)

( x2 , y2

2)

x1

x2 ,

x1

x2

(1

) x2 , x1 x2

x22 .

( x1 x2 )2

x22

x1 x2 ，

1

(

4k

) 2

1

3

1

2

2

2 k

2

k

, 整理得

16

(1

)2

(1

)2

1

3(

1)

2k2

k2

3 , 4

16

16 .

4

1

2

16 .解得 1

3.

2

3

3

3

3

3

2k 2

又

0

1,

1

1.

3

1 FH ,

1 .

又当直线 GH 斜率不存在，方程为 x

0, FG

3

3

1,即所求 的取值范围是 [ 1 ,1)

3 3

10、解：（ 1）由题意可得， ，，∴ b

3 ．

∴所求的椭圆的标准方程为：

x2

y2

1．

4

3

（ ）设 M

x

y

（ x

2)

，则

x 2

y 2

．①

0

0

0

1

2

( 0 ,

0 )

4

3

且 MP

(t

x0 ,

y0 ) ， MH

( 2 x0 , y0 ) ，

由 MP

MH 可得 MP MH

0 ，即

∴ (t

x0 )(2

x0 )

y0

2

0

．

②

由①、②消去整理得

t (2 x0 )

1 x0 2

2x0

3 ． ∵ x0

2

4

1 ( 2 x0 ) 1

1 x0

3 ．

∴ t

4

4

2

∵

2

x0 2 ， ∴

2

t

1．

∴ t 的取值范围 为 (

2,

1) .

11、

解：（ Ⅰ ）由题意知 e

c

2

2

c2

a2

b2

1

a

， 所以 e

a2

a2

．

2

2

即 a2

2b2 ． 又因为 b

2

1

1，所以 a2

2

， b2

1．

1

故椭圆 C 的方程为 x 2

y 2

1．

2

（ Ⅱ ）由题意知直线

AB 的斜率存在 .

设 AB ： y k (x

2) ， A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ， P( x, y) ，

y

k (x

2),

由

x

2

得 (1

2k

2

)x

2

8k

2

x

8k

2

2

0 .

y2

1.

2

64k 4

4(2k 2

1)(8k2

2)

0 ， k2

1

.

2

8k 2

8k2

2

x1

x2

1 2k 2 ， x1 gx2

1 2k 2 .

∵ OA

OB

t OP

， ∴

( x1

x2 , y1

y2 )

t( x, y)

，

x

x1

x2

8k

2

t

，

t(1 2k2 )

y

y1

y2

1[ k (x1

x2 ) 4k]

t (1

4k

2

.

t

t

2k

)

(8k 2 ) 2

2

(

4k) 2

2 ，

∵ 点 P 在椭圆上， ∴

2 (1 2k 2 )2

t 2 (1 2k 2 )2

t

∴ 16k 2

t 2 (1

2k 2 ) .

∵ PA PB ＜

2

5 ， ∴ 1

k 2

x1

x2

2

5

， ∴ (1

k 2 )[( x1 x2 ) 2

4x1 gx2 ]

20

3

3

9

2

)[

64k 4

8k 2

2

]

20

∴ (1 k

(1

2k

2

)

2

4g

2k

2

9

，

1

∴ (4k 2

1)(14k 2

13)

0

， ∴ k 2

1

.

4

∴ 1

k2

1

， ∵ 16k 2

t2 (1

2k 2 ) ，∴ t 2

16k2

8

8

，

4

2

1

2k 2

1

2k 2

∴

2

t

2

6

2

6

t

2

，

3

或

3

∴ 实数 t 取值范围为 (

2,

2

6

(

2

6

3

)

,2) .

3

y2 x2

12、解、设椭圆方程为 1，由题意可得

a2 b2

a

2,b

2, c

2

2

，

y2

x2

1

故椭圆方程为

2

4

设 AB 的直线方程： y

2 x

m .

y

2 x m

由 x 2

y 2

，得 4x2

2 2mx m 2

4 0 ，

2

1

4

由

(2

2m) 2

16(m2

4)

0 ，得

2

2

m 2 2

P 到 AB 的距离为 d

| m | ，

3

则 S PAB

1 | AB | d

1

(4

1 m2 )

3

| m |

2

2

2

3

1 m 2 ( m 2

8)

1 ( m2

m2

8) 2

2 。

8

8

2

当且仅当 m

2

2 2 ,2 2 取等号，

∴ 三角形

PAB 面积的最大值为。

13、 解 :设点的坐标为，点的坐标为

x0 , y0

，

则 x

x0 ， y

2 y0 ，所以 x0

x ， y0

y

，

①

2

因为 P x0 , y0 在圆 x 2

y2

1上，所以 x02

y02

1

②

将①代入②，得点的轨迹方程

C 的方程为 x2

y 2

1 ．

4

（Ⅱ）由题意知，

| t |

1 ．

当时，切线 l

的方程为，点

A、B 的坐标分别为 (

3 ,1), (

3

,1),

2

2

此时 | AB |

3

，当 t

1时，同理可得 | AB |

3

；

当时，设切线 l 的方程为

y

kx

m, k

R

y

kx

t,

由

x 2

y

2

得 (4

k

2 )

x

2

2

ktx

t

2

4 0 ③

1,

4

设 A、 B 两点的坐标分别为

( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ，则由③得：

x1

x2

2kt

2 , x1 x2

t 2

4

4

k

4

k

2 ．

又由 l

与圆 x

2

y

2

相切，得

| t

|

1,

即

t

2

k

2

1.

1

k 2

1

2

4k

2

2

4)

4

2

3 | t |

所以 | AB |

( x2

x1 )

2

( y2

2

t

4( t

.

y1 )

(1 k )[

2

2

2

]

t

3

(4

4

k )

k

因为 | AB | 4 3 | t |

4 3

2, 且当 t

3 时，

t 2

3

| t

|

3

| t

|

|AB|=2 ，所以 |AB| 的最大值为 2

依题意，圆心到直线

AB 的距离为圆 x2

y 2

1的半径，

1

AB 1

1 ，

所以

AOB 面积 S

2

当且仅当 t

3 时， AOB 面积 S 的最大值为

1，

相应的的坐标为 0, 3 或者 0, 3 ．

14、 解：由题意知， | m | 1.

当

m

1

时，切线 l 的方程为

x

1

，点 A,B 的坐标分别为 (1, 3 ),(1,

3 ) ，

2

2

此时 | AB |

3；

当 m

1 时，同理可得 | AB |

3；

当

m

时，设切线 l 的方程为 y

k(x

m) .

1

y

k (x

m)

由 x2

y

2

1

得 (1 4k2 ) x2

8k 2 mx 4k 2m2

4 0 .

4

设 A,B 两点的坐标分别为

( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) .

又由 l 与圆 x2

y2

1相切， 得

| km |

1 ，即 m2 k 2

k2

1.

k 2

1

所以 | AB |

(x

2

x )

2

( y

2

y )2

(1

k 2 )[( x

x )2

4x x ]

1

1

2

1

1

2

(1

k 2 )[

64k 4m2

4(4k2 m2

4) ]

4

3 | m | .

(1 4k 2 )2

1 4k2

m2

3

由于当 m

1时， | AB |

3 ，

| AB |

4

3 | m |

4

3

2 ，

m2

3

3

| m |

| m |

当且当 m

3 时， | AB |

2 .所以 |AB| 的最大值为 2.

选做

x2

y2

1、 解（ 1）椭圆 m：

1

12

4

（ 2）由条件 D（ 0，－ 2）1°当 k=0 时，显然－ 2<t<2 2°当 k≠0时，设 l : y kx

M（ 0， t）

t

x2

y

2

12

1

消 y 得

4

y

kx

t

(1

3k 2 )x2

6ktx

3t 2

12

0

由△ >0

可得

t 2

4

12k 2

①

P(x1 , y1 ), Q (x2 , y2 ), PQ中点 H (x0 , y0 )

则 x0

x1 x2

3kt

y0

kx0 t

t

2

1

3k 2

3k 2

1

3kt

t

)

∴ H (

1 3k 2

, 1 3k 2

由 | DP | | DQ |

OH

PQ

即 kDH

1

k

t

2

∴ 1

3k 2

1

化简得 t 1 3k 2

②

3kt

0

k

1

3k 2

∴ t>1

将①代入②得

1<t<4

∴ t 的范围是（

1， 4）

综上 t∈（－ 2， 4）

uuur

uuur

2、解：（ 1）Q NP

2NQ,

∴点为的中点，

uuur

uuur

0 ，

GQ

PN 或点与点重合． ∴ | PG | |GN | .

又Q GQ

NP

又 | GM |

| GN | | GM |

| GP | | PM |

4.

∴点的轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆，

且 a

2, c 1 ，∴ ba2

c2

3, G 的轨迹方程是

x2

y2

1.

4

3

(2)解：不存在这样一组正实数，

下面证明：

由题意，若存在这样的一组正实数，

当直线的斜率存在时，设之为 k ，

故直线的方程为： y k (x 1) ，设 A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，中点 D ( x0 , y0 ) ，

x1

2

y12

4

3

1

则

，两式相减得：

x2

2

y2

2

4

3

1

(x1

x2 )( x1

x2 )

( y1

y2 )( y1

y2 )

0 ．

4

3

x1

x2

y1

y2

1

x0

2

3x0

1

注意到

，且

②

x1

x2

k

y2

，则

，

y1

4 y0

k

y0

2

又点在直线上，

y0

k( x0 1) ，代入 ② 式得： x0

4 ．

因为弦的中点在 ⑴ 所给椭圆内，

故 2 x0 2 ， 这与 x0 4 矛盾，所以所求这组正实数不存在．

当直线的斜率不存在时，

直线的方程为，

则此时 y1 y2 , x1 x2 2 ，代入 ① 式得 x1 x2 0 ，

这与是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在．

x2 y2

3、解：（ Ⅰ ）椭圆的标准方程为 1．

3

Ⅱ）设 A(x1， y1) ， B( x2， y2 ) ，

y

kx

m，

联立

x2

y

2

1.

，

得 (3

4k2 )x2

8mkx 4(m2

3)

0 ，

4

3

64m

2

k

2

16(3

4k

2

2

，即

3

4k

2

m

2

，则

)( m

3) 0

0

x1

x2

8mk

，

3

4k 2

x1

g

4(m2

3)

x2

3

4k

2 .

又 y1 y2

( kx1

m)(kx2

m)

k 2 x1 x2

mk (x1

x2 )

m2

3(m2

4k2 )

，

因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点

D (2，0) ，

3

4k 2

kAD kBD

1 ，即

y1 g

y2

2

1，

x1 2 x2

y1 y2

x1 x2 2( x1

x2 ) 4 0 ，

3(m2

4k

2 )

4( m2

3)

16mk

4

0

，

3

4k 2

3 4k 2

3

4k 2

9m2

16mk

4k 2

0 ．

解得：

m1

2k ， m2

2k ，且均满足

3

4k2

m2

0

，

7

当 m1

2k 时， l 的方程为 y

k (x

2)

，直线过定点 (2，0) ，与已知矛盾；

当

m2

2k

k ( x

2

，直线过定点 (

2，

．

7

7

2， ．

7

所以，直线 l

过定点，定点坐标为

7

x 2

y

2

1(a

b

0)

4、解：（ 1）设椭圆方程为

b

a 2

2

则

a

2b

解得

a2

8

4

1

2

a2

b2

1

b

2

∴椭圆方程为

x2

y 2

1

8

2

（2）∵直线 l 平行于 OM ，且在 y 轴上的截距 m,

1

又 KOM=

2

l的方程为： y

1 x

m

2

y

1

m

x

由

2

2

2

2

2

4

0

x 2

y 2

x

mx

m

1

8

2

∵直线 l 与椭圆交于 A、 B 两个不同点，

(2m)2

4(2m2

4)

0,

解得

2

m

2, 且m

0...........................................................8分

（3）设直线 MA 、 MB 的斜率分别为

k1 ，k2，只需证明 k1+k2=0 即可

设

(

,

y1

),

(

x2

,

y

2

),

且 x1

x2

2 ,

2

m

24

A x1

B

m x1 x2

则 k1

y1

1

y 2

1

x1

, k

2

x2

2

2

由

x2

2

mx

2

2

4

0可得

m

x1

x2

2m, x1 x2

2m2

4

而 k1

k 2

y1

1 y 2

1 ( y1

1) (x2

2) ( y2 1)( x1 2)

x1

2 x2

2

( x1

2)( x2 2)

( 1 x1

m

1)( x2

2)

(1 x2

m 1)( x1

2)

2

2

( x1

2)( x2

2)

x1 x2

(m

2)(x1

x2 ) 4(m

1)

( x1

2)( x2

2)

2m2

4

(m

2)(

2m)

4(m

1)

(x1

2)( x2

2)

2m2

4

2m2

4m

4m

4

分

( x1

2)( x2

2)

0......................................................13

k1

k2

0

故直线

MA、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。

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